مقدمه

از اعداد می توانیم برای اندازه گیری طول ، یا کمیتهای دیگر فیزیکی استفاده کنیم، ولی یونانیان می دانستند پاره خط هایی هم وجود دارند که طول آنها را نمی توان در تئوری ، دقیقا با اعداد گویا اندازه گرفت. آنها هندسه دانان بزرگی بودند، یکی از قضیه های ساده ولی عمیقشان قضیه فیثاغورث بود. با اعمال این قضیه بر مثلث قائم الزاویه که طول اضلاع کوچکترش هر دو یک باشد نتیجه می گیریم که طول وترش x است و 2=12+12=2x با توجه به اینکه عدد گویایی (اعداد گویا قبل از اعداد حقیقی کشف شده بودند) چون m/n وجود ندارد که 2=2(m/n). خب این جرقه بزرگی بود در دنیای ریاضیات آن زمان.
تعریف

اعداد حقیقی که با نمواد R نمایش داده می شود مجموعه ای تقریبا کامل از اعداد هستند که دارای خواص مطلوب می باشند. در مجموعه R دو عمل دوتایی جمع و ضرب با خواص حسابی مناسب ، و کافی برای امکان تعریف تفریق و تقسیم ، باید وجود داشته باشند علاوه بر این رابطه ای ترتیبی هم که به طور مناسبی به جمع و ضرب مکربوط شود و طرحش طوری باشد که حضور اعضای منفی را نیز ملحوظ کند، باید وجود داشته باشد. آخرین جزء اصلی ، اصل کمال است. به طور کلی می توان چنین نتیجه گرفت که: هرگاه سه جنبه: 1- حساب 2- ترتیب 3- اصل کمال ، به طور مناسبی بیان شوند می توانند اعداد حقیقی را به طور کاملا توصیف نمایند.
با توجه به مطالب گفته شده اکنون به بررسی سه مورد فوق می پردازیم تا اعداد حقیقی را به نحو شایسته ای توصیف کرده باشیم.
خواص اعداد حقیقی

(1) حساب: مجموعه ای چون R با اعمال دوتایی + و 0 میدان نامیده می شود اگر به ازای هر و b,a:
1) a+b=b+a
2) a+(b+c)=(a+b)+c
3) عضوی چون وجود داشته باشد که به ازای هر داشته باشیم a+0=a.
4) اگر عضوی چون وجود داشته باشد تا a+(-a)=0.
5) a.b=b.a
6) a(bc)=(ab)c
7) عضوی چون وجود داشته باشد که 0≠1و به ازای هر داشته باشیم: 1a=a.
8) اگر ،0a≠ ، عضوی چون وجود داشته باشد بطوری که 1=1-a.a
9) a(b+c)=ab+ac.
در بندهای فوق عضوهای 0 و 1 را اعضای صفر و یکه R می نامند به واسطه بندهای 1 و 5 داریم:
0+a=a ، (-a)+a=0 ، a1=a ، a-1a=1 و (a+b)c=ac+bc
تفریق رابا

a-b=a+(-b)
و تقسیم رابا: a/b=ab-1 ، به شرطی که 0≠b ، تعریف می کنیم.
(2) ترتیب
میدانی چون R را مرتب می نامیم اگر زیر مجموعه ای چون وجود داشته باشد که:
1)
2)
3)
منظور از R+ در بندهای 1 تا 3 فوق اعداد صحیح مثبت می باشد.
(3) اصل کمال
عضوی چون a را از R یک کران بالای زیرمجموعه ای چون می خوانیم اگر به ازای هر داشته باشیم . هر مجموعه ای چون S را از بالا کراندار می گوئیم هرگاه دارای کران بالا باشد. عضوی چون λ را از R کوچکترین کران بالای S می نامیم اگر:
1) به ازای هر ، (λ یک کران بالا باشد)
2) → ( به ازای هر ) ، (λ بین کرانهای بالا و کوچکترین باشد).
اگر S زیرمجموعه ای ناتهی از R و S از بالا کراندار باشد، آنگاه S در R دارای یک کوچکترین کران بالاست.
ساختن اعداد ، خود اثری است از قرن نوزدهم که در آن زمان اعداد طبیعی بعنوان پایه ریاضیات پذیرفته شد، ولی درک کاملی از اعداد حقیقی وجود نداشت. در آن قرن اثبات این مطلب که در ریاضیات اعداد حقیقی اشیا معتبری هستند اهمیت داشت، و بنابراین ساختن R از N (اعداد طبیعی) موثر واقع شد. ولی امروزه که انجام پذیر بودن این کار به اثبات رسیده مسائل روانی و فلسفی مربوط جدیت خود را از دست داده اند. اگر به جای N وجود R را اصل قرار دهیم، بی ضرر خواهیم بود. ولی با این کار ، بسیار ساده به نتیجه خواهیم رسید. زیرا همان طور که می دانیم .
از اعداد حقیقی بعنوان یک میدان مرتب کامل یاد می شود. و هر میدان مرتب کامل با R یکریختی ترتیبی دارد.
در پایان باید ذکر کنیم که مجموعه اعداد حقیقی به نوبه خود زیرمجموعه اعداد دیگری تسن با نام اعداد مختلط با نماد . برای آشنایی با اعداد مختلط می توانید به مقاله "اعداد مختلط و ماورای آن" رجوع نمایید.