مشتقات جزئی

[soroush_tayyebi]

مقدمه

مشتقهای جزئی وقتی به دست می آیند که در یک تابع چند متغیره همه متغیرها را به جز یکی ثابت نگه داریم و نسبت به آن متغیر مشتق بگیریم.

تعریف

اگر (x0 , y0) نقطه ای از دامنه یک تابع مثل z=f(x,y) باشد، محل تقاطع صفحه y=y0 با رویه z=f(x,y) خم z=f(x0,y0) است. این خم نمودار تابع z=f(x,y0) در صفحه y=y0 است. در این صفحه مختص قائم z است و آن فاصله نقطه واقع در بالای (پایین) صفحه xy از این صفحه است. مختص افقی x است. مشتق z=f(x, y0) نسبت به x در x=x0 طبق معمول تعریف می شود و عبارت است از حد
فرمول*****

به شرطی که این حد موجود باشد. این حد را مشتق جزئی f نسبت به x در نقطه (x0,y0) می نامیم. شیب خم ذکر شده در صفحه y=y0 در نقطه (x0,y0,f(x0,y0)) مقدار این مشتق جزئی نسبت به x در (x0,y0) است. مماس بر خم در x=x0 خطی واقع در صفحه y=y0 است که از نقطه (x0,y0,f(x0,y0)) می گذرد و شیب آن این مقدار است.
نمادهای معمول مشتق جزئی z=f(x,y) نسبت به x در (x0,y0):
یا که مشتق جزئی f نسبت به x در (x0,y0) یا f اندیس x در (x0,y0) است. این نماد برای تاکید بر نقطه (x0,y0) مناسب است.

• : مشتق جزئی z نسبت به x در نقطه (x0,y0) است. این نماد در علوم مهندسی به کار می رود که با متغیرها سروکار داشته باشیم و تابع به طور صریح ذکر نشود.
• یا : مشتق جزئی f (یا z) نسبت به x است. این نماد وقتی مناسب است که مشتق جزئی ، خود به عنوان یک تابع در نظر گرفته شود.

تعریف مشتقات جزئی توابع با بیش از دو متغیر مستقل ، شبیه تعریف مربوط به توابع دومتغیره است. این مشتقات همان مشتق های معمولی نسبت به یک متغیرند با این شرط که سایر متغیرهای مستقل ، ثابت درنظر گرفته شوند.
مشتقات جزئی با متغیرها ی مقید:
هنگام محاسبه مشتقات جزئی توابعی نظیر w=f(x,y) تاکنون فرض کردیم که y,x مستقل اند. ام در بسیاری از موارد کاربردی این وضع برقرار نیست. مثلا انرژی درونی (U) یک گاز را می توان برحسب فشار ، P ، حجم ، V ، و دما ، T ، بیان کرد.
U=f(P,V,T)
اما اگر این گاز ایده آل باشد از اطلاعات فیزیکی خود می دانیم که در این صورت T , V , P از قانون گازهای ایده آل یعنی PV=nRT (R,n ثابت)
تبعیت می کنند و لذا مستقل نیستند. محاسبه مشتقات جزئی در این گونه موارد ممکن است پیچیده باشد. این گونه موارد در اقتصاد ، مهندسی یا فیزیکی بوفور یافت می شود.
اگر متغیرهای z,y,x تابعی چون w=f(x,y,z) با رابطه ای مانند معادله z=x2+y2 مقید شوند . تعبیر هندسی و مقادیر عددی مشتقات جزئی f بستگی به این خواهند داشت که چه متغیرهایی را وابسته و چه متغیرهایی را مستقل انتخاب کنیم. این انتخاب اثر فوق العاده ای بر نتیجه می گذارد. این تاثیر نه تنها در مقدار عددی مشتق جزئی نمودار می شود بلکه شکل هندسی تابع نیز از این انتخاب متاثر می گردد.
مشتق های جزئی مراتب بالاتر ، معادلات دیفرانسیل جزئی مربوط به فیزیک:
اگر از تابعی مکررا مشتق جزئی بگیریم، مشتق هایی به دست می آیند که مشتق های مراتب بالاتر (یعنی بالاتر از مرتبه اول) نام دارند. این مشتق ها در معادلاتی ظاهر می شوند که قوانین فیزیکی مهمی را در مورد حرکت موج ، جریان گرما و گرانش بیان می کنند. این مشتقات در آزمون های مربوط به مشخص کردن ماکسیمم ها و مینیمم های توابع با بیش از یک متغیر ظاهر می شوند.
معمولا حل معادلات دیفرانسیلی که شامل مشتق های جزئی اند دشوار است. بخشی از این دشواری بدلیل گوناگونی جواب است. وقتی از تابعی چون f(x,y) دوبار کشتق می گیریم مشتق های مرتبه دوم آن را بدست می آوریم. این مشتقات را معمولا با نماد زیر نمایش می دهیم.
فرمول****

دو نماد اول از سمت راست ، با یکدیگر برابرند و این یک امر اتفاقی نیست. زیرا در هر نقطه ای که f ، fx ، fy ، fxy و fyx پیوسته باشند مشتقات جزئی آمیخته fxy و fyx باید با هم برابر باشند این واقعیت را قضیه مشتقهای آمیخته می نامیم.
معادله یک بعدی گرما (=معادله پخش=معادله تلگراف)
فرض کنیم w(x,t) دمای نقطه x از میله رسانای یکنواختی در لحظه t باشد و جریان گرما از دیواره لوله به هیچ وجه عبور نمی کند در این صورت ، مشتق های جزئی wxx و wt در یک معادله دیفرانسیل به صورت زیر صدق می کنند.

این معادله را معادله یک بعدی گرما می نامند. مقدار C2 از روی جنس میله تعیین می شود. این معادله در بدست آوردن دمای فصلی زیر سطح زمین کارساز است. در شیمی و زیست شناسی گرما را معادله پخش می نامند. در مهندسی برق معادله گرما به معادله تلگراف معروف است و به صورت های Vxx=RCVt و ixx=RCit ظاهر می شود. این معادلات ولتاژ V و جریان I را در یک کابل هم محور یا در هر کابل دیگری توصیف می کنند که در آنها نشت و القا کنایی قابل اغماض اند.

معادلات لاپلاس

در معادله لاپلاس سه بعدی توزیع های دمای حالت پایا که در آن T تابعی است از f برحسب دو متغیر z,y,x . در فضا ، پتانسیل های گرانشی و پتانسیل های الکترواستاتیکی صدق می کند و عبارت است از اینکه مجموع مشتقات مرتبه دوم f نسبت به هر یک از متغیرهای z,y,x برابر صفر است. معادله لاپلاس در فضای دو بعدی نیز برقرار می باشد.
معادله موج: اگر در ساحل اقیانوسی بایستیم و در لحظه ای از زمان از امواج عکس بگیریم آنگاه در عکس الگوهای منظمی از برآمدگی ها و فرورفتگی ها نمایان خواهد بود. در فضا حرکت قائم متناوب نسبت به فاصله را می بینیم. اگر روی آب باشیم با عبور امواج می توانیم بالا و پایین رفتن آب را حس کنیم. در فیزیک ، این تقارن زیبا را با معادله یک بعدی موج یعنی

بیان می کنند که در آن w ارتفاع موج ، x متغیر فاصله ، t متغیر زمان و C سرعت انتشار موج است.
کاربردها: بخشی از کاربردها در بالا توضیح داده شد ولی برای آشنایی بیشتر به مقاله کاربردهای مشتقات جزئی مراجعه فرمایید.

[soroush_tayyebi]

مقدمه

[تنها کاربرانی که عضو شده اند و از طریق ایمیل عضویتشان فعال شده می تواند این لینک را ببینند. ] که بر نواحی بسته و کراندار صفحه تعریف می‌شوند در دامنه خود مقادیر Max و Min دارند. توانایی ما در بدست ‌آوردن این مقادیر و یافتن محل وقوع آنها اهمیت دارد. مثلا بیشترین دمای لبه یک ورقه حرارت دیده چقدر است؟ بالاترین نقطه یک رویه مفروض در بالای یک بخش مشخصی از صفحه کدام است؟ به این قبیل پرسش‌ها با [تنها کاربرانی که عضو شده اند و از طریق ایمیل عضویتشان فعال شده می تواند این لینک را ببینند. ] براحتی می‌توان پاسخ داد. مشتقات جزئی مبنای بدست ‌آوردن تقریب‌های خطی ، محاسبه نموها و برآورد خطاهای تقریبی نیز نقش دارند مشتقات جزئی مبنای بدست‌ آوردن صورت دو متغیره ظریف و کارسازی از فرمول تیلر نیز هستند.

ماکسیمم‌ها ، مینیمم‌ها و نقاط زینی

توابع دارای دو متغیر مستقل نیز مانند توابع یک متغیره می‌توانند Max و Min موضعی داشته باشند. برای بدست ‌آوردن مقادیر Max و Min یک تابع پیوسته چون توسط مشتقات جزئی گام اول ، استفاده از مشتقات جزئی مرتبه اول تابع است که با آن ، فهرست کوتاه و جامعی از نقاطی را بدست می‌آوریم که در آنها ممکن است مقادیر اکسترمم موضعی خود را در اختیار گیرد. گام بعدی به این بستگی دارد که R بسته و کراندار باشد یا خیر. در صورتی ‌که باشد به قضیه‌ای از [تنها کاربرانی که عضو شده اند و از طریق ایمیل عضویتشان فعال شده می تواند این لینک را ببینند. ] پیشرفته متوسل می‌شویم که حاکی است هر تابع پیوسته بر یک ناحیه بسته و کراندار چون R یک مقدار Max و Min مطلق دارد. سپس بکمک فهرستی که تهیه کردیم مقادیر Max و Min مطلق را می‌یابیم. اگر R بسته و کراندار نباشد تابع ممکن است در این بازه مقادیر اکسترمم مطلق نداشته باشد. باوجود این توسط مشتقات جزئی مرتبه دوم می‌توانیم به تلاش خود ادامه دهیم و از صحت یا عدم‌صحت این نکته اطمینان حاصل کنیم تا نقاطی از فهرست را که دارای اکسترمم موضعی‌اند را شناسایی کنیم. اختلاف عمده این روش با روش توابع یک متغیره در این است که آزمون‌های مشتقات اول و دوم در این مورد با مشتقات زیادتری سروکار دارند.

آزمونهای مشتق

تساوی به ازای یک نقطه درونی از R به تنهایی تضمین نمی‌کند که f در آن نقطه یک مقدار اکسترمم داشته باشد. اما اگر f و مشتقات جزئی مرتبه اول و دوم آن بر R پیوسته باشند، آزمونی موسوم به آزمون مشتق دوم وجود دارد که ممکن است رفتار در را مشخص کند بدین ترتیب که اگر آنگاه:


الف) f در یک Max موضعی دارد هرگاه در داشته باشیم:


ب) f در یک Min موضعی دارد هرگاه در داشته باشیم:


ج) f در یک Minنقطه زینی دارد هرگاه در داشته باشیم:


این آزمون درباره نتیجه‌ای نمی‌دهد. برای بدست‌آوردن مقادیر اکسترمم خمی‌هایی مثل ، f را بصورت تابعی از t تلقی می‌کنیم و مقادیر اکسترمم f را مانند توابع یک متغیره بدست می‌آوریم.

تقریب خطی و برآورد نمو

در علوم تجربی و ریاضی غالبا می‌توانیم بجای توابع دومتغیره پیچیده توابع ساده‌تری را درنظر بگیریم که با استفاده از آنها ، بدون اینکه لازم باشد کار زیادی انجام دهیم دقت مطلوب تأمین می‌شود. صورت خطی تابع در توسط مشتقات جزئی عبارت است از تابع:

که توسط آن تقریب تقریب خطی در نزدیکی است. در موارد زیادی می‌توانیم فرمول را بجای فرمول بکار ببریم. هنگام استفاده از فرمول طبق معمول فرض می‌کنیم که در همسایگی ، f و مشتقات جزئی مرتبه اول آنها پیوسته باشد.

برآورد نمر

فرض کنید و مشتقات جزئی مرتبه اول آن پیوسته باشند و به اندازه مقادیر کو.چک تغییر کنند. آنگاه دیفرانسیل df که با معادله زیر تعریف می‌شود تقریب خوبی از تغییر حاصل در است:

ضرایب لاگرانژ

گاه مجبوریم مقادیر ماکسیمم و مینیمم توابعی را بیابیم که دامنه‌هایشان درون زیرمجموعه خاصی از صفحه- نظیر یک قرص یا یک ناحیه مثلثی- قرار دارند. برای یافتن مقادیر اکسترمم چنین توابعی روش نیرومندی بنام ضرایب لاگرانژ توسط مشتقات جزئی ما را قادر به انجام چنین کاری می‌کند. به بیان کلی ، این روش حاکی است که مقادیر اکسترمم تابعی چون که متغیرهایش قیدی بصورت دارند، در نقاطی از رویه بدست می‌آیند. که در آن نقاط به ازای عددی چون لاندا λ (موسوم به ضرایب لاگرانژ) داشته باشیم: