+ پاسخ به مبحث
نمایش نتایج 1 تا 4 از 4

مبحث: اعداد اول:

  1. #1
    مدیر بازنشسته
    39,161 امتیاز ، سطح 48
    39% کامل شده  امتیاز لازم برای سطع بعدی 989
    0% فعالیت
    دستاورد ها:
    SocialRecommendation First ClassCreated Album picturesVeteranTagger First Class
    نماد soroush_tayyebi
    تاريخ عضويت
    Jan 1970
    محل سکونت
    Tehran
    پست
    1,294
    گيپا
    640,650
    پس انداز
    0
    امتیاز
    39,161
    سطح
    48
    تشكرها
    2,568
    716 بار در 433 پست از اين كاربر تشكر شده


    به نظر شما این پست مفید است؟ بله | خیر

    پیش فرض اعداد اول:

    آگهی تبلیغات (برای حمایت از گیگاپارس)
    تعریف:
    عدد طبیعی P>1 را عدد اول می گویند هرگاه تنها مقسوم علیه های مثبت آن 1 و P باشند. به عبارت دیگر یک عدد طبیعی اول است هرگاه جز یک و خودش بر هیچ عدد دیگری بخش پذیر نباشد.
    هر عدد طبیعی مخالف یک که اول نباشد مرکب یا تجزیه پذیر می گوییم.


    به عنوان مثال اعداد 2و3و5و7 اول و اعداد 12و18و325 مرکب می باشند.
    • لازم به ذکر است که عدد یک نه اول و نه مرکب است و تنها عدد اول زوج عدد 2 است.
    اگر n عددی مرکب باشد می توان گفت:
    • نتیجه: اگر P عددی اول . a و b اعدادی طبیعی باشند، در این صورت:


    برهان:
    چون P عددی اول است بنابراین تنها دو مقسوم علیه متمایز دارد. از اینکه P=ab و a<b نتیجه می شود a , b دو مقسوم علیه متمایز P می باشند چون: a|P ,b|P و بنابر تعریف a=1 , b=P خواهد بود.



    • حال به بیان چند قضیه مهم در باره اعداد اول می پردازیم:
    • قضیه 1) هر عدد صحیح بجز یک و منفی یک دارای حداقل یک مقسوم علیه اول است.
    برهان:
    فرض می کنیم a عددی صحیح باشد که مخالف یک و منفی یک است. اگر a=0 باشد در این صورت تمامی اعداد صحیح از جمله اعداد اول a را می شمارند و حکم برقرار است. حال فرض می کنیم a مخالف صفر باشد و نشان می دهیم a دارای حداقل یک مقسوم علیه اول است. برای این منظور مجموعه مقسوم علیه های مثبت و بزرگتر از یک a را به این صورت تعریف میکنیم:
    مجموعه S ناتهی است چرا که:
    پس:. از طرفی دیگر مجموعه S زیرمجموعه اعداد طبیعی است پس بنابر اصل خوشترتیبی S دارای عضو ابتدا(مینیمم) چون P است.
    نشان می دهیم که P عددی اول است. برای اثبات ادعا از برهان خلف استفاده می کنیم:
    به برهان خلف فرض می کنیم P عددی اول نباشد، پس P عددی مرکب است لذا:
    ,این نتیجه می دهد:
    از طرفی دیگر: که این نتیجه می دهد:.
    و این با مینیمم بودن P در تناقض است چون: و لذا فرض خلف باطل و چنین نیست که P اول نباشد پس P اول است. به این ترتیب نشان داده شد عدد a حد اقل یک مقسوم علیه اول دارد.


    • قضیه 2) بی نهایت عدد اول وجود دارد.
    برهان:
    برای اثبات این قضیه از برهان خلف استفاده می کنیم. به برهان خلف فرض می کنیم تعداد اعداد اول متناهی باشد و به فرض تنها اعدد اول موجود باشند. قرار می دهیم:

    بوضوح M بزرگتر از یک و طبیعی است پس بر طبق قضیه قبل می توان گفت M دارای حداقل یک مقسوم علیه اول است و چون تعداد اعداد اول موجود محدود است آن مقسوم علیه اول یکی از اعداد است به فرض عضوی چون: داریم:

    که این با اول بودن در تناقض است چون نه اول و نه مرکب است . و لذل فرض خلف باطل و حکم برقرار است و تعداد اعداد اول بی شمار است.


    • لازم به توضیح است که این قضیه نخستین بار توسط اقلیدس در حدود سال 300 قیل از میلاد اثبات گردیده است.
    • قضیه 3) هر عدد مرکب n دارای حداقل یک مقسوم علیه اول کوچکتر یا مساوی است.
    برهان
    چون n مرکب است پس:
    حال نشان می دهیم که:
    به برهان خلف اگر: آنگاه و در نتیجه: که این تناقض است و لذا فرض خلف باطل و حکم برقرار است یعنی: حال چون a بزرگتر از یک است پس a دارای حداقل یک مقسوم علیه اول مانند p است. داریم:

    و از سوی دیگر:
    پس p عددی اول است که در شرایط قضیه صدق می کند و لذا حکم برقرار است.


    • لازم به توضیح است که قضیه فوق اساس روش غربال اراتستن است.

    • قضیه4) اگر n عددی طبیعی و بزرگتر از 2 باشد, حتما" بین n و 2n عدد اولی وجود دارد. (قضیه چپیشف)
    • قضیه بنیادی حساب:
    هر عدد طبیعی بزرگتر از یک را می توان به صورت یکتایی به صورت حاصل ضرب عوامل اول نوشت.
    به عبارت دیگر اگر n عددی طبیعی و بزرگتر از 1 باشد:
    که در آن ها اعداد اول متمایر می باشند.
    این نمایش را تجزیه عدد n به عوامل اول می گوییم.



    همچنین اگر n<-1 باشد باز هم می توان n را به صورت یکتایی به صورت حاصل ضرب عوامل اول نوشت:




    که در آن ها اعداد اول متمایز می باشند.
    • توجه: اگر n=1 باشد آنگاه که در ان P هر عدد اولی است.
    • لازم به توضیح است که ممکن است در تجزیه یک عدد طبیعی به عوامل اول، تعدادی از عوامل یکسان باشند. به عنوان مثال:12=2×2×3
    تجزیه استاندارد یک عدد:
    اگر n>1 عددی طبیعی باشد آنگاه عدد n را می توان به شکل یکتایی به صورت:

    که در آن ها اعداد اول متمایز و اعداد طبیعی اند.
    این روش نمایش و تجزیه عدد را تجزیه متعارف، استاندارد، یا کانونیک عدد n می گویند.


    • توجه: بزرگترین توان که: را به صورت می دهند.
    به عنوان مثال تجزیه استاندارد 12 به عوامل اول به صورت مقابل است:
    BYE 4 EVER

  2. #2
    مدیر بازنشسته
    39,161 امتیاز ، سطح 48
    39% کامل شده  امتیاز لازم برای سطع بعدی 989
    0% فعالیت
    دستاورد ها:
    SocialRecommendation First ClassCreated Album picturesVeteranTagger First Class
    نماد soroush_tayyebi
    تاريخ عضويت
    Jan 1970
    محل سکونت
    Tehran
    پست
    1,294
    گيپا
    640,650
    پس انداز
    0
    امتیاز
    39,161
    سطح
    48
    تشكرها
    2,568
    716 بار در 433 پست از اين كاربر تشكر شده


    به نظر شما این پست مفید است؟ بله | خیر

    پیش فرض قضیه اعداد اول

    در جستجو برای یافتن قانون حاکم بر توزیع عددهای اول، گام مهم و اساسی زمانی برداشته شد که ریاضیدانان از تلاش بی‌ثمر برای یافتن فرمول ریاضی ساده‌ای که همه اعداد اول یا تعداد دقیق عددهای اول در میان عدد صحیح نخست را به دست دهد دست برداشتند، و به جای آن در جستجوی اطلاعات درباره متوسط توزیع عددهای اول در میان عددهای صحیح برآمدند.
    فرض کنید به ازای هر عدد صحیح تعداد عددهای اول در میان اعداد صحیح 1، 2، 3، ...، را با نمایش دهیم. اگر زیر اعداد اول در دنباله مرکب از چند عدد صحیح نخست خط بکشیم، می‌توانیم چند مقدار اولیه را محاسبه کنیم:


    حال اگر دنباله دلخواهی از مقادیر را در نظر بگیریم که به طور نامحدود افزایش یابد، مثلاً



    آنگاه مقادیر متناظر :

    نیز به طور نامحدود (هر چند با سرعت کمتر) افزایش می‌یابند. از آنجا که می‌دانیم بینهایت عدد اول وجود دارد، مقادیر هم دیر یا زود از هر عدد متناهی تجاوز خواهند کرد. «چگالی» عددهای اول در میان عدد صحیح نخست با نسبت مشخص می‌شود و با استفاده از یک جدول اعداد اول، مقادیر را می‌توان به طور تجربی به ازای مقادیر نسبتاً بزرگ محاسبه کرد.

    می‌توان گفت که درایه آخر جدول بیانگر احتمال آن است که عدد صحیحی که به تصادف از میان عدد صحیح نخست انتخاب شده، اول باشد زیرا انتخاب ممکن وجود دارد که از آنها اول‌اند.
    توزیع عددهای اول در میان اعداد صحیح فوق‌العاده بی‌نظم است. ولی این بی‌نظمی «در مقیاس کوچک»، از میان می‌رود به شرط اینکه توجه خود را به متوسط توزیع عددهای اول که با نسبت مشخص می‌شود معطوف کنیم. کشف قانون ساده‌ای که رفتار این نسبت از آن تبعیت می‌کند یکی از برجسته‌ترین اکتشافات در تمام ریاضیات است. گاوس از بررسی تجربی جدولهای اعداد اول دریافت که نسبت تقریباً برابر است و این تقریب با افزایش ظاهراً بهتر می‌شود. میزان خوبی تقریب با نسبت مشخص می‌شود که مقدارهایش به ازای =1000، =1000000 و =1000000000 در جدول زیر نشان داده شده‌اند.

    1/59 0/145 0/168 1/084 0/072382 0/78498 1/053 0/048254942 0/050847478 ... ... ... ...


    گاوس براساس این گونه شواهد تجربی حدس زد که نسبت «به طور مجانبی» برابر با است. منظور از این گفته آن است که اگر دنباله‌ای از مقادیر را که مرتباً بزرگ و بزرگتر می‌شوند، مثلاً همان دنباله


    را در نظر بگیریم، آنگاه نسبت به ، یعنی عدد

    که به ازای همین مقادیر متوالی محاسبه شود، به 1 نزدیک و نزدیکتر خواهد شد، و اختلاف این نسبت با 1 می‌توان با محدود کردن به مقادیر به اندازه کافی بزرگ، به قدر دلخواه کوچک کرد. این مطلب به صورت نمادین با علامت ~ بیان می‌شود:
    به این معنی است که وقتی افزایش می‌یابد، به 1 میل می‌کند.
    با توجه به اینکه همیشه عددی صحیح است ولی چنین نیست، روشن می‌شود که چرا نمی‌توان علامت معمولی تساوی، =، را به جای ~ قرار داد.
    این موضوع که چگونگی توزیع میانگین اعداد اول را می‌توان به وسیله تابع لگاریتمی توصیف کرد، کشف بسیار جالبی است زیرا شگفت‌آور است که دو مفهوم ریاضی که این قدر نامرتبط به نظر می‌رسند، در واقع چنین ارتباط نزدیکی با هم دارند.
    اگر چه فهم صورت حدس گاوس آسان است، اثبات ریاضی دقیق آن بسیار دور از حدود امکانات علوم ریاضی در زمان گاوس بود. برای اثبات این قضیه، که فقط با ابتدایی‌ترین مفاهیم سروکار دارد، استفاده از قویترین روشهای ریاضیات نوین لازم است. تقریباً صدسال طول کشید تا آنالیز به درجه‌ای تکامل یافت که آدامار (1896) در پاریس و دلاواله پوسن در لوون (1896) توانستند اثبات کاملی از قضیه اعداد اول به دست دهند. من گولت و لاندوا صورتهای ساده شده و اصلاح شده مهمی از استدلال را عرضه کردند. مدتها قبل از آدامار، تحقیق پیشگامانه خطوط استراتژیک اقدام برای حل مساله مشخص گشته بود. نوربرت وینر ریاضیدان آمریکایی توانست این اثبات را اصلاح کند تا از به کار بردن عددهای مختلط در مرحله مهمی از استدلال اجتناب شود. با این حال، اثبات قضیه اعداد اول هنوز هم، حتی برای دانشجوی پیشرفته، آسان نیست. در سال 1949 پل اردوش ، استاد مسلم اپباع‌های ابتدایی ، و سلبرگ توانستند این قضیه را با تکنیک‌های ابتدایی نظریه اعداد و بدون استفاده از تکنیک‌های تحلیلی اثبات نمایند.
    BYE 4 EVER

  3. #3
    مدیر بازنشسته
    39,161 امتیاز ، سطح 48
    39% کامل شده  امتیاز لازم برای سطع بعدی 989
    0% فعالیت
    دستاورد ها:
    SocialRecommendation First ClassCreated Album picturesVeteranTagger First Class
    نماد soroush_tayyebi
    تاريخ عضويت
    Jan 1970
    محل سکونت
    Tehran
    پست
    1,294
    گيپا
    640,650
    پس انداز
    0
    امتیاز
    39,161
    سطح
    48
    تشكرها
    2,568
    716 بار در 433 پست از اين كاربر تشكر شده


    به نظر شما این پست مفید است؟ بله | خیر

    پیش فرض اعداد اول دوقلو

    بسیاری از عددهای اول به صورت جفتهایی به شکل p و p+2 هستند، مانند 3و5 ، 11و13 ، 29و31 . گمان می‌رود تعداد این گونه جفتها نامتناهی باشد ولی تا کنون هیچ گام قطعی در راه اثبات این موضوع برداشته نشده است.
    برون در 1919 اثبات کرد که بینهایت عدد p موجود است به طوری که هم p و هم p+2 حاصل‌ضرب حداکثر 9 عدد اولند. این اثبات توسط سایر ریاضی‌دانان پیشرفت کرد به طوری که در 1924 ، رادماخر عدد برون را از 9 به 7 کاهش داد. در 1930 بوخشتاب این تعداد را به 6 و در 1938 به 5 رساند. ونگ با مفروض دانستن صورت تعمیم یافته‌ی فرضیه ریمان در 1962 نشان داد که بی‌نهایت عدد اول p موجود است به قسمی که p+2 حاصل‌ضرب حداکثر 3 عدد اول است. با این حال بوخشتاب در 1965 و بدون در نظر گرفتن صحت فرضیه ریمان توانست اثبات کند که به ازای عدد c ثابتی ، بی‌نهایت عدد اول p موجود است به قسمی که p+2 حاصل‌ضرب حداکثر c عدد اول است.چن در مقاله‌ای که در 1973 منتشر گردید اثبات کرد که عدد c=2 برای اثبات بوخشتاب کفایت می‌کند.

    سی و پنج جفت ابتدایی اعداد اول دوقلو:

    (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619), (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), (881, 883)

    قضیه

    m و m+2 اعداد اول دوقلو هستند اگر و تنها اگر :

    BYE 4 EVER

  4. #4
    مدیر بازنشسته
    39,161 امتیاز ، سطح 48
    39% کامل شده  امتیاز لازم برای سطع بعدی 989
    0% فعالیت
    دستاورد ها:
    SocialRecommendation First ClassCreated Album picturesVeteranTagger First Class
    نماد soroush_tayyebi
    تاريخ عضويت
    Jan 1970
    محل سکونت
    Tehran
    پست
    1,294
    گيپا
    640,650
    پس انداز
    0
    امتیاز
    39,161
    سطح
    48
    تشكرها
    2,568
    716 بار در 433 پست از اين كاربر تشكر شده


    به نظر شما این پست مفید است؟ بله | خیر

    پیش فرض اعداد اول، اعداد اول مرسن، بزرگترین عدد اول کشف شده

    آگهی تبلیغات


    تعریف اعداد اول (odd numbers): «اعداد اول» در علم رياضيات به اعدادي نظير 2، 3، 5، 7 و ‪ ۱۱گفته ميشود كه تنها بر خودشان و همچنين عدد يك بخش پذير بوده و به هيچ عدد ديگري قابل تقسيم نيستند.

    تعریف اعداد اول مرسن (Mersenne odd numbers): به آن دسته از اعداد اولي كه برابر يكي از توانهاي عدد دو منهاي یک ‪ هستند، اعداد «اول مرسن» گفته ميشود. به طور مثال، عدد ۷ يك «عدد اول مرسن» است؛ زيرا برابر است با عدد ۲ به توان 3 (يعني۸) منهاي يك.

    فرمول ساده مرسن برای اعداد اول.

    Marin Mersenne, 1588 - 1648
    مارین مرسن (۱۶۴۸-۱۵۸۸) کاشف فرمول معروفی برای اعداد اول.
    در دی ماه 1384 دانشمندان دانشگاه ايالتي «ميسوري» آمريكا موفق شدند با استفاده از توان محاسباتي هزاران رايانه، بزرگترين «عدد اول» شناسايي شده در جهان تا آن زمان را با ۹ ميليون و یکصد و پنجاه و دو ‪هزار و پنجاه و دورقم شناسايي كنند. به گزارش بخش خبر آوري اطلاعات ايران، از ایرنا، این دومين باري بود كه يك عدد اول بسيار بزرگ در طرح موسوم به «شناسايي اعداد اول مرسن به كمك شبكه رايانه‌اي»
    (Great Internet Mersenne Prime Search)
    یا به اختصار (GIMPS) كشف میشد.
    در طرح شناسايي «اعداد اول مرسن» از توان محاسباتي بلااستفاده رايانه‌هاي بيش از ۲۰۰ هزار داوطلب در سرتاسر جهان استفاده ميشود.
    بزرگترين اعداد اول شناسايي شده در چند سال قبل همگي عدد اول از نوع «مرسن» (Mersenne) بوده‌اند و عدد اولی که در سال 1384 شناسايي شد نيز يك «عدد اول مرسن» بوده و برابر است با دو به توان سی ميليون و چهارصد و دو هزار و چهارصد و پنجاه و هفت منهاي يك. تا آن زمان چهل و سه عدد اول مرسن در جهان شناسايي شده بود. تیم مذکور که این عدد اول بزرگ را کشف کرد، برنده صد هزار دلار جایزه شد.

    دانلود عدد اول نه میلیون رقمی- این عدد بزرگ را میتوانید به شکل یک فایل متنی txt به حجم 5/4 مگابایت از اینجا ([تنها کاربرانی که عضو شده اند و از طریق ایمیل عضویتشان فعال شده می تواند این لینک را ببینند. ]) کنید یا به سایت زیر بروید:
    [تنها کاربرانی که عضو شده اند و از طریق ایمیل عضویتشان فعال شده می تواند این لینک را ببینند. ]
    بزرگ ترین عدد اول: بزرگترین (در واقع جدیدترین) عدد اول دنیا در مهر ماه 1387 کشف شد. بدیهی است که این عدد اول تازه کشف شده بزرگترین عدد اول نخواهد بود چرا که طبق یک قضیه در تئوری اعداد، اعداد اول نامتناهی هستند.
    به گزارش واحد مرکزی خبر و به نقل از شبکه تلویزیونی فاکس نیوز (Fox News)، ریاضیدانان دانشگاه معروف یو. سی.ال.ای (UCLA) آمریکا اعلام کردند که با کمک هفتاد و پنج دستگاه رایانه، عددی سیزده میلیون رقمی را که جزو اعداد اول بوده و فقط بر خود و بر یک بخش پذیر است، خلق کرده اند.
    ریاضیدانان آمریکایی با خلق این عدد بسیار بزرگ، جایزه صد و ده هزار دلاری یک شرکت اینترنتی را به خاطر خدمت ارزنده به دانش ریاضی نصیب خودکردند.

    به نقل از «جام جم آنلاين» گروهي از دانشمندان امريکائي و آلماني با همکاري يکديگر موفق به يافتن دو عدد شدند که گفته ميشود بزرگ‌ترين اعداد اولي هستند که تاکنون بشر موفق به محاسبه آن گرديده است.کشف اين دو عدد در جريان پروژه Great Internet Mersenne Prime Search یا (GIMPS) که دوازده سال از عمر آن مي‌گذرد (شروع از سال 1996)، اتفاق افتاد.
    بزرگترین عدد اول: بزرگ‌ترين عدد اول که يک عدد 12978189 رقمي مي‌باشد (حدود سیزده میلیون رقمی)، توسط تيمي از دانشگاه کاليفرنيا (UCLA) به دست آمد.
    دومین عدد اول بزرگ: دومین عدد اول بزرگ که به دست يک پزشک کاربر آلماني کشف گرديد، شامل 11185272 رقم است.
    یافتن اعداد اول فوق العاده بزرگ چه فایده ای دارد؟ اهميت يافتن اين اعداد در کاربرد آنان و افزايش کارآئي و اثربخشي بهتر سيستم هاي رمزنگاري یا (Cryptography) خواهد بود. در واقع، هدف اصلي اين تحقيقات دستيابي به روشي غيرقابل نفوذ و قابل اطمينان از سيستم هاي رمزنگاري ميباشد. اعداد اول در بحث رياضيات و رمزنگاري از اهميت بسزائي برخوردار مي‌باشند اما دستاوردهاي مهمتر، اين گونه به دست خواهند آمد که دريابيم مسائل و مشکلات بزرگتر را ميتوان با روشهاي مشابه حل کرد.
    حامی مال این طرح چیست؟ جستجو به دنبال اعداد اول بزرگ (که تنها بر عدد يک و خودشان قابل قسمت مي‌باشند) از سوي بنیاد
    (Electronic Frontier Foundation)
    که به اختصار (EFF) خوانده میشود، حمايت شده و اين بنياد نقش حامي مالي و اسپانسر چنين فعاليتهايي را ايفا ميکند. جان گیلمور John Gilmore بنیانگزار بنیاد EFF و رئيس پروژه جوايز اين بنياد مي‌گويد: «جوايز EFF مشوق همکاري ميباشند».
    تيم دانشگاه UCLA مبلغ يکصد هزار دلار جايزه برای به دست آوردن يک عدد اول ده ميليون رقمي از EFF دريافت كرد. جوايز بزرگتر شامل يکصد و پنجاه هزار دلار براي کشف عدد اول يکصد ميليون رقمي و مبلغ دويست و پنجاه هزار دلار براي محاسبه عدد اول يک ميليارد رقمي هستند.
    ***
    در پستهای بعدی مطالب کاملتری از منابع خارجی درباره اعداد اول مرسن تقدیم حضور خواهد شد.

    * منابع:
    http://plus.maths.org

    [تنها کاربرانی که عضو شده اند و از طریق ایمیل عضویتشان فعال شده می تواند این لینک را ببینند. ]
    [تنها کاربرانی که عضو شده اند و از طریق ایمیل عضویتشان فعال شده می تواند این لینک را ببینند. ]
    www.asroone.net
    [تنها کاربرانی که عضو شده اند و از طریق ایمیل عضویتشان فعال شده می تواند این لینک را ببینند. ]
    BYE 4 EVER

+ پاسخ به مبحث

بازدید کنندگانی که از طریق جستجو کلمات ذیل به انجمنهای گیگاپارس آمده اند:

اعداد اول چیست

اعداد اول کدامند

اثبات قضیه چپیشف

چرانمودارمقسوم علیه های یک عدد به صورت مایل است؟

روش بدست اوردن اعداد اول در سی

نمودار اعداد اول

اعداد اول يك رقمي

اعداد مرکب و نماد اختصاری

روش به دست آوردن اعداد اول

اعداد اول زیر 1000000

عدد اول چیست

قضیه ها در مورد اعداد اولاعداد طبیعیاستاندارد اعداد طبیعیپروژه سی پلاس پلاس بدست اوردن مقسوم علیهاعداد اولقضیه چپیشفاعداد اول كدامند؟بدست آوردن اعداد اولعدد اول چيستفرمول اعداد اول چیستبخش پذیری عددی مشترک بر 17 و 13و11اعداداول دوقلوشمارند هها و اعداد اولعدد اول چیست؟
SEO Blog

اطلاعات این مبحث

Users Browsing this Thread

در حال حاضر 1 کاربر در حال دیدن این مبحث می باشند، (0کاربر عضو و 1 کاربر مهمان)

تگهای این مبحث

قانون های ارسال نوشته

  • You may not post new threads
  • You may not post replies
  • You may not post attachments
  • You may not edit your posts