مسئله یافتن تابعی که مقادیرش به ازای آرگومان های صحیح و مثبت فاکتوریل های ۱=!۱و ۲=!۲ و ۶=!۳ و ... و 1.2.3...n!= n باشند توسط اویلر (Euler) به کمک انتگرال ناسره حل شد.
تابع گاما (کامل) به صورت بسط فاکتوریل ([تنها کاربرانی که عضو شده اند و از طریق ایمیل عضویتشان فعال شده می تواند این لینک را ببینند. ]) به آرگومان های عددی مختلط و حقیقی است. این تابع با معادله ی زیر به فاکتوریل مرتبط می شود:
که این نماد مرسوم با توجه به گفته ی لژاندر به طور مختصری مشکل تر از نماد ساده تر معرفی شده توسط گائوس است (Gauss 1812; Edwards 2001, p. 8).
این تابع در همه جا به جز در ..., , تحلیلی ([تنها کاربرانی که عضو شده اند و از طریق ایمیل عضویتشان فعال شده می تواند این لینک را ببینند. ]) است، و باقیمانده ی آن در عبارت است از
هیچ نقطه ی ای را نمی توان یافت که در آن .
در استفاده ی مرسوم برای نمایش سری توانی از یک تابع گاما، یک قرارداد نمادگذ‌اری وجود دارد. در حالیکه مولفانی همچون (Watson (1939 بر استفاده از (یعنی بکارگیری از یک قرارداد تابع مثلثاتی-گون) تاکید دارند، طبق سنت نمادگذاری استفاده می شود.
تابع گاما را می توان به صورت یک انتگرال معین ([تنها کاربرانی که عضو شده اند و از طریق ایمیل عضویتشان فعال شده می تواند این لینک را ببینند. ]) برای تعریف کرد (شکل تعریف شده توسط اویلر)
(*)
یا
تابع گامای کامل را می توان همچنین به تابع گامای ناتمام ([تنها کاربرانی که عضو شده اند و از طریق ایمیل عضویتشان فعال شده می تواند این لینک را ببینند. ]) بالایی و تابع گامای ناتمام پایینی بسط داد.
نمودار قسمت های حقیقی و موهومی در صفحه ی مختلط در شکل بالا نشان داده شده است.
با انتگرال گیری جز به جز از معادله (*) برای یک آرگومان حقیقی، مشاهده می شود که



چنانچه یک عدد صحیح باشد، آنگاه



بنابراین تابع گاما به ازای آرگومان های صحیح مثبت ([تنها کاربرانی که عضو شده اند و از طریق ایمیل عضویتشان فعال شده می تواند این لینک را ببینند. ]) به فاکتوریل تقلیل می یابد.
یک رابطه ی زیبا مابین و تابع زتای ریمان ([تنها کاربرانی که عضو شده اند و از طریق ایمیل عضویتشان فعال شده می تواند این لینک را ببینند. ]) به صورت زیر است
برای (Havil 2003, p. 60).
تابع گاما همچنین می تواند به صورت یک حاصلضرب نامتناهی ([تنها کاربرانی که عضو شده اند و از طریق ایمیل عضویتشان فعال شده می تواند این لینک را ببینند. ]) یعنی صورت ویراشتراوس ([تنها کاربرانی که عضو شده اند و از طریق ایمیل عضویتشان فعال شده می تواند این لینک را ببینند. ]) تعریف شود:
که ثابت اویلر ـ ماشرونی ([تنها کاربرانی که عضو شده اند و از طریق ایمیل عضویتشان فعال شده می تواند این لینک را ببینند. ]) است (Krantz 1999, p. 157; Havil 2003, p. 57). با لگاریتم گرفتن از طرفین معادله ی اخیر داریم:
با مشتق گیری از این رابطه بدست می آوریم:









که تابع دی گاما ([تنها کاربرانی که عضو شده اند و از طریق ایمیل عضویتشان فعال شده می تواند این لینک را ببینند. ]) و تابع چند گامایی ([تنها کاربرانی که عضو شده اند و از طریق ایمیل عضویتشان فعال شده می تواند این لینک را ببینند. ]) هستند. امین مشتق ها برحسب توابع چند گامایی ([تنها کاربرانی که عضو شده اند و از طریق ایمیل عضویتشان فعال شده می تواند این لینک را ببینند. ]) , , ..., داده می شوند.
ادامه دارد...
منابع:
Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Gamma (Factorial) Function" and "Incomplete Gamma Function." §6.1 and 6.5 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 255-258 and 260-263, 1972.
Arfken, G. "The Gamma Function (Factorial Function)." Ch. 10 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 339-341 and 539-572, 1985.
Artin, E. The Gamma Function. New York: Holt, Rinehart, and Winston, 1964.
Bailey, W. N. Generalised Hypergeometric Series. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1935.
Berndt, B. C. Ramanujan's Notebooks, Part IV. New York: Springer-Verlag, pp. 334-342, 1994.
Beyer, W. H. CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 218, 1987.
Borwein, J. and Bailey, D. Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century. Wellesley, MA: A K Peters, 2003.
Borwein, J. and Borwein, P. B. Pi & the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. New York: Wiley, p. 6, 1987.
Borwein, J. M. and Zucker, I. J. "Fast Evaluation of the Gamma Function for Small Rational Fractions Using Complete Elliptic Integrals of the First Kind." IMA J. Numerical Analysis 12, 519-526, 1992.
Bourguet, L. "Sur les intégrales Eulériennes et quelques autres fonctions uniformes." Acta Math. 2, 261-295, 1883.
Campbell, R. Les intégrales eulériennes et leurs applications. Paris: Dunod, 1966.
Davis, H. T. Tables of the Higher Mathematical Functions. Bloomington, IN: Principia Press, 1933.
Davis, P. J. "Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function." Amer. Math. Monthly 66, 849-869, 1959.
Edwards, H. M. Riemann's Zeta Function. New York: Dover, 2001.
Erdélyi, A.; Magnus, W.; Oberhettinger, F.; and Tricomi, F. G. "The Gamma Function." Ch. 1 in Higher Transcendental Functions, Vol. 1. New York: Krieger, pp. 1-55, 1981.
Finch, S. R. "Euler-Mascheroni Constant." §1.5 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 28-40, 2003.
Gauss, C. F. "Disquisitiones Generales Circa Seriem Infinitam etc. Pars Prior." Commentationes Societiones Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores, Vol. II. 1812. Reprinted in Gesammelte Werke, Bd. 3, pp. 123-163 and 207-229, 1866.
Graham, R. L.; Knuth, D. E.; and Patashnik, O. Answer to Problem 9.60 in Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, 1994.
Hardy, G. H. "A Chapter from Ramanujan's Note-Book." Proc. Cambridge Philos. Soc. 21, 492-503, 1923.
Hardy, G. H. "Some Formulae of Ramanujan." Proc. London Math. Soc. (Records of Proceedings at Meetings) 22, xii-xiii, 1924.
Hardy, G. H. Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work, 3rd ed. New York: Chelsea, 1999.
Havil, J. "The Gamma Function." Ch. 6 in Gamma: Exploring Euler's Constant. Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 53-60, 2003.
Isaacson, E. and Salzer, H. E. "Mathematical Tables--Errata: 19. J. P. L. Bourget, 'Sur les intégrales Eulériennes et quelques autres fonctions uniformes,' Acta Mathematica, v. 2, 1883, pp. 261-295.' " Math. Tab. Aids Comput. 1, 124, 1943.
Koepf, W. "The Gamma Function." Ch. 1 in Hypergeometric Summation: An Algorithmic Approach to Summation and Special Function Identities. Braunschweig, Germany: Vieweg, pp. 4-10, 1998.
Krantz, S. G. "The Gamma and Beta Functions." §13.1 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 155-158, 1999.
Le Lionnais, F. Les nombres remarquables. Paris: Hermann, p. 46, 1983.
Magnus, W. and Oberhettinger, F. Formulas and Theorems for the Special Functions of Mathematical Physics. New York: Chelsea, 1949.
Nielsen, N. "Handbuch der Theorie der Gammafunktion." Part I in Die Gammafunktion. New York: Chelsea, 1965.
Press, W. H.; Flannery, B. P.; Teukolsky, S. A.; and Vetterling, W. T. "Gamma Function, Beta Function, Factorials, Binomial Coefficients" and "Incomplete Gamma Function, Error Function, Chi-Square Probability Function, Cumulative Poisson Function." §6.1 and 6.2 in Numerical Recipes in FORTRAN: The Art of Scientific Computing, 2nd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 206-209 and 209-214, 1992.
Sloane, N. J. A. Sequences A000079/M1129, A000142/M1675, A001147/M3002, A030169, A030170, A030171, A030172, A061549, A068466, and A143503 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."
Spanier, J. and Oldham, K. B. "The Gamma Function " and "The Incomplete Gamma and Related Functions." Chs. 43 and 45 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, pp. 411-421 and 435-443, 1987.
Watson, G. N. "Theorems Stated by Ramanujan (XI)." J. London Math. Soc. 6, 59-65, 1931.
Watson, G. N. "Three Triple Integrals." Quart. J. Math., Oxford Ser. 2 10, 266-276, 1939.
Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. Middlesex, England: Penguin Books, p. 40, 1986.
Whipple, F. J. W. "A Fundamental Relation between Generalised Hypergeometric Series." J. London Math. Soc. 1, 138-145, 1926.
Whittaker, E. T. and Watson, G. N. A Course in Modern Analysis, 4th ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1990.
Wrench, J. W. Jr. "Concerning Two Series for the Gamma Function." Math. Comput. 22, 617-626, 1968.