برهان خلف نوعی از برهان غیرمستقیم است؛ برای آنکه ثابت کنیم قضیه‌ای درست است می‌توانیم ثابت کنیم که خلاف آن قضیه ، یعنی ناارز آن (=نقیض) آن ، نادرست است. به این ترتیب که از صورت قضیه قسمتی را بعنوان فرض و قسمت دوم را بعنوان حکم در نظر می‌گیریم، بعد در جهت اثبات خلاف حکم مورد نظر حرکت می‌کنیم. بعد از طی مراحلی به جایی می‌رسیم که با فرض قضیه که در ابتدا آن را درست در نظر گرفته بودیم به تناقض می‌رسیم تناقض حاصل ما را به این مهم می‌رساند که جهتی را که برای اثبات خلاف حکم انتخاب کرده این نادرست است (زیرا با فرض در تناقض است) بنابراین حکم خلف رد شده و حکم قضیه اصلی اثبات می‌شود.

برهانی درباره نیمسازها

مثلا برای اثبات اینکه "اگر دو نیمساز داخلی از مثلثی برابر باشند، دو ضلع نظیر آنها با هم برابرند". (این قضیه عکس قضیه) "در مثلث متساوی‌الساقین دو نیمساز داخلی برابرند" است. قضیه اخیر بسادگی اثبات می‌شود اما اثبات عکس آن سالها ریاضی‌دانانی را به خود مشغول داشته است. در حال حاضر برای اثبات این قضیه دهها راه اثبات ارائه شده است که همه آنها بصورت برهان خلف هستند، یا از قضیه های کمکی بهره می‌گیرند که با برهان خلف ثابت شده‌‌اند برهان خلف ، نظم و یکپارچگی ریاضیات را بیش از پیش برای ما نشان می‌دهد، توسط این برهان ما به اتحاد و همبستگی مطالب ریاضی بیشتر واقف می‌شود.

در حقیقت با برخورد به یک تناقض در اثبات به روش برهان خلف ، تنها عدم درستی حکم خلف ثابت نمی‌شود بلکه ارتباط بین قضایای مختلف در
[تنها کاربرانی که عضو شده اند و از طریق ایمیل عضویتشان فعال شده می تواند این لینک را ببینند. ] بیشتر جلوه‌گری می‌کند و لذت ریاضیات در همین اتحاد و یکپارچگی است. برهان خلف زیر نخستین و در عین حال زیباترین این برهان‌هاست که برای درک بیشتر مطالب فوق ذکر می‌شود.